Question

【题目】如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，且OA⊥OB，若AB＝6，则△AOB的面积为_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

过A作轴，过B作轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACO与三角形ODB相似，由A、B分别在反比例函数与图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC与三角形BOD面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为OA与OB之比，设出，，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OA与OB的长，即可求出三角形AOB的面积．

解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，

又∵OA⊥OB，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°，

∴∠BOD＝∠CAO，

又∵∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴△ACO∽△ODB，

∵点A，B分别分别在反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）图象上，

∴，，即S△AOC：S△BOD＝1：2，

∴OA：OB＝1：，

在Rt△AOB中，设OA＝x，则OB＝x，AB＝6，

根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即36＝x2+2x2，

解得：x＝2，

∴OA＝2，OB＝2，

则S△AOB＝OAOB＝6．

故答案为：6．