Question

【题目】 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足AC条件的长；

（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC=90°．

①求证：△ABC为比例三角形；

②求的值．

（3）若以点C为顶点的抛物线y=mx2-4mx-12m(m＜0)与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M(x0，y0)为该抛物线上任意一点，总有n-≤-my02-40y0+298成立，求实数n的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①证明见解析；②；（3）10+．

【解析】

（1）先由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出AC长度的范围．因为三角形三边都有可能是平方等于另两边乘积的边，故需分三种情况讨论，计算并判断结果是否合理．

（2）①由BD平分∠ABC和AD∥BC可证得∠ABD=∠DBC=∠ADB，进而得AB=AD．因为BC为圆的直径，根据圆周角定理得∠BAC=∠CDA=90°，再加上平行所得的∠ACB=∠DAC，即证得△ABC∽△DCA，由对应边成比例得AC2=BCDA=BCAB，得证．

②由Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD根据勾股定理得BD2=BC2+CD2=AB2+AC2+AC2-AB2=2AC2，故有BD=AC，进而得．

（3）先由抛物线解析式求点A、B、C坐标，求得AB=8，根据抛物线对称性有AC=BC．由△ABC是比例三角形可得AB2=BCAC或AC2=ABBC，化简后都得到AC=AB，把含m的式子代入即求得m的值，进而求得抛物线解析式和最大值．由于点M(x0，y0)在抛物线上，则得到y0的最大值．设z=-my02-40y0+298，把m的值代入并配方，得到关于y0的二次函数关系，且对应抛物线开口向下．由于y0范围取不到此二次函数的顶点，故取y0的最大值求得z的最小值，进而得到n的最大值．

（1）∵AB=2，BC=3，

∴1＜AC＜5，

①若AB2=BCAC，则AC=，

②若BC2=ABAC，则AC=，

③若AC2=ABBC=6，则AC=，

综上所述，满足条件的AC的长为，，．

（2）①证明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵点A在以BC为直径的圆上，

p>∴∠BAC=90°，

∵∠BAC=∠CDA=90°，∠ACB=∠DAC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，

∴AC2=BCDA=BCAB，

∴△ABC为比例三角形，

②∵∠BAC=∠CDA=90°，AB=AD，

∴BC2=AB2+AC2，AC2=AD2+CD2=AB2+CD2，

∵AD∥BC，

∴∠BCD=180°-∠ADC=90°，

∴BD2=BC2+CD2=AB2+AC2+AC2-AB2=2AC2，

∴BD=AC，

∴；

（3）∵y=mx2-4mx-12m=m(x-2)2-16m(m＜0)，

∴抛物线开口向下，顶点C(2，-16m)，

∵y=0时，mx2-4mx-12m=0，

解得：x1=-2，x2=6，

∴A(-2，0)，B(6，0)，AB=8，

∴AC=BC=，

∵△ABC是比例三角形，

∴AB2=BCAC或AC2=ABBC，

∴AB=AC，

∴4=8，

解得：m1=(舍去)，m2=-，

∴抛物线解析式为y=-x2+x+3=-(x-2)2+4，

∵M(x0，y0)在抛物线上，

∴y0≤4，

设z=-my02-40y0+298=4y02-40y0+298=4(y0-5)2-2，

∴当y0≤4时，z随x的增大而减小，

∴y0=4时，z最小值=4×(4-5)2-2=4×3-2=10，

∵n-≤z恒成立，即n-≤10，

∴n的最大值为10+.