Question

4．已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．

Answer 1

分析 欲证明四边形GMNH为菱形，只要证明HN=HG=GM=MN，由题意HN=GM=$\frac{1}{2}AF$，HG=MN=$\frac{1}{2}EB$，所以只要证明AF=EB，利用△APF≌△EPB即可证明．

解答 证明：∵△APE和△PBF都是等边三角形，
∴AP=PE，PF=PB，∠APE=∠FPB=60°，
∴∠APF=∠EPB，
在△APF和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}\\{∠APF=∠EPB}\\{PF=PB}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△EPB，
∴AF=EB，
∵EH=HA，EN=NF，
∴HN=$\frac{1}{2}AF$，同理GM=$\frac{1}{2}AF$，HG=MN=$\frac{1}{2}EB$，
∴HN=HG=GM=MN，
∴四边形MNHG是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形证明线段AF=EB，声音中考常考题型．