Question

如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：

（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？

（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．

（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．

Answer 1

解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，

理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

在△BDC和△APB中，

，

∴△BDC≌△APB（SAS），

∴BD=AP．

（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，

理由：∵△BDC≌△APB，

∴∠CBD=∠BAP，

∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，

即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．

（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，

理由是：根据题意得：BP=CD，

∵BC=AC，

∴CP=AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，

∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，

∴∠ACP=∠BAD，

在△ABD和△ACP中，

，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴∠CAP=∠ABD，

∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB

=180°﹣∠CAB

=180°﹣60°

=120°，

即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．