Question

如图，△ABC与以AB为直径的⊙O相交于点D，且点D为AC中点，点F是⊙O的切线BC延长线上的一点，连结FD并延长与⊙O相交于点E，DG⊥BC于点G．
（1）求证：DG为⊙O的切线；
（2）当∠F=15°，AE=3时，求⊙O半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连结OD，由BC是⊙O的切线就可以得出AB⊥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，就可以得出DG∥AB，D为AC中点，就有DG=GC，DG=

1

2

AB，OD是△ABC的中位线，就可以得出OD∥BC，就可以得出∠BOD=90°，就可以得出∠GDO=90°，得出结论；
（2）连结OE，由OD∥BC就可以得出∠AOD=90°，∠ADO=∠ACB，由OA=OD就可以得出∠ADO=45°，得出∠ACB=45°，由外角与内角的关系就可以得出∠CDF=30°，进而得出∠ADE=30°，就有∠AOE=60°，AO=EO得出△AEO为等边三角形，就可以得出结论．

解答：解：（1）连结OD，
∵点D为AC中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠B，∠ADO=∠ACB．
∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠AOD=90°，
∴∠BOD=90°．
∵DG⊥BC，
∴∠DGB=90°．
∵∠DOB+∠B+∠DGB+∠GDO=360°，
∴∠GDO=90°，
∴GD⊥OD．
∴DG为⊙O的切线；
（2）∵∠AOD=90°，AO=DO，
∴∠ADO=45°，
∴∠ACB=45°．
∵∠ACB=∠F+∠CDF，且∠F=15°，
∴45°=15°+∠CDF，
∴∠CDF=30°，
∴∠ADE=30°．
∵∠AOE=2∠ADE，
∴∠AOE=60°．
∵AO=EO，
∴△AOE是等边三角形．
∴AO=AE．
∵AE=3，
∴AO=3，
∴⊙O半径为3．

点评：本题考查了切线的判定及性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，圆心角与圆周角的关系的运用，等边三角形的判定及性质的运用，解答时运用切线的性质求解是关键．