Question

已知如图所示，

AB

所在圆的半径为R，

AB

的长为

π

3

R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

Answer 1

考点：切线的性质,相切两圆的性质,弧长的计算

专题：

分析：利用切线的性质以及弧长公式进而得出∠AOB=60°，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CO′=

1

3

R，即可求出⊙O′的周长．

解答：解：连接OD，O′C，O′E，
∵OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，
∴∠OCO′=∠OEO′=90°，
∵

AB

所在圆的半径为R，

AB

的长为

π

3

R，
∴

nπR

180

=

π

3

R，
解得：n=60，
则∠AOB=60°，
故∠AOD=∠BOD=30°，
则CO′=

1

2

OO′，
即OD=3CO′=R，故CO′=

R

3

，
故⊙O′的周长为：2π×

R

3

=

2πR

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质以及弧长公式等知识，得出CO′=

R

3

是解题关键．