Question

如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF=CE．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AE=AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据垂直的定义可得∠BFD=∠CED=90°，然后利用“角角边”证明△BFD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BFD和△CED中，

∠BFD=∠CED=90° ∠BDF=∠CDE BF=CE

，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DE=DF，
又∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴AD平分∠BAC；

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．