Question

2．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：
（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ADC≌△A′DC；
（2）BC和AC、AD之间的数量关系是BC=AC+AD．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由SAS容易证明△ADC≌△A′DC；
（2）由△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，再求出DA′=BA′，得出BA′=AD，即可得出结论；
解决问题：在AB上截取AE=AD，连接CE，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，过点C作CF⊥AB于点F，设EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根据勾股定理求出x，即可得出结果．

解答 解：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=CA}&{\;}\\{∠ACD=∠A′CD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）BC=AC+AD；理由如下：
由（1）得：△ADC≌△A′DC，
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，
∴DA′=BA′，
∴BA′=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD；
解决问题
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE，如图3所示：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC．
在△AEC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠DAC=∠EAC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴EF=BF，
设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF²=CB²-BF²=10²-x²，
在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF²=AC²-AF²=17²-（9+x）²．
∴10²-x²=17²-（9+x）²，
解得：x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB的长为21．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．