Question

14．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC²=AB•AD，∠ADC=90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD=4，AB=6，求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（2）根据∠EAC=∠ECA，∠DAC=∠CAE，即可得出∠DAC=∠ECA，进而得到CE∥AD；
（3）先根据∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，进而得到$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

解答 解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC²=AB•AD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；

（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）∵AD=4，AB=6，CE=$\frac{1}{2}$AB=AE=3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．