Question

已知如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，AE⊥CD交DC延长线于E，BF⊥CD，交CD延长线于F．
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=10cm，CD=6cm，求AE+BF的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）如图，过点O作OG⊥CD，运用垂径定理及平行线等分线段定理即可解决问题．
（2）如图，连接OD，运用勾股定理求出OG的长度，根据梯形的中位线定理即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，过点O作OG⊥CD于点G；
则DG=CD；
∵BF⊥EF，AE⊥EF，
∴BF∥OG∥AE，而OA=OB，
∴GF=GE，
∴GF-GD=GE-CE，
即CE=DF．
（2）解：如图，连接OD；
∵AB=10，CD=6，
∴OD=5，DG=3；
由勾股定理得：OG²=OD²-DG²=25-9=16，
∴OG=4；
由（1）知：OG为梯形ABFE的中位线，
∴AE+BF=2OG=8，
即AE+BF的值为8．

点评：该命题以圆为载体，在重点考查垂径定理、梯形的中位线定理等几何知识点的同时，还渗透了对勾股定理等知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．