Question

已知：如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE．
（1）证明：△BDE是等腰三角形；
（2）若AB=2，求DE的长度．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC=90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE=∠CED=30°，根据等角对等边即可证得；
（2）由勾股定理求出BD即可求得．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠DCB=60°
∵CE=CD∴∠CED=∠CDE，
∵∠DCB=∠CED+∠CDE=60°
∴∠CED=∠CDE=30°，
∵BD为中线∴∠DBC=30°，
∴∠DBC=∠CED∴BD=DE
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵BD为中线，
∴AD=

1

2

AC=1，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∴BD=

3

，
∴DE=BD=

3

．

点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．