Question

6．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为$\frac{n+1}{2}$a．

Answer 1

分析 设出正多边形的边长，根据正多边形与圆的关系，分别求出正四边形、正六边形和正八边形的面积，找出规律，得到答案．

解答 解：第一个：正多边形的面积等于a；
第二个：如图作AE⊥BD于E，
设正六边形的边长为2，
∵正六边形的一个内角为120°，
∴∠ABE=30°，
则AE=1，BE=$\sqrt{3}$，
△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
a=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴正六边形的面积为：$\frac{3}{2}$a，

第三个：如图，
∵正八边形的一个内角为135°，
∴∠ABD=45°，
设正八边形的边长为2，
则BD=AD=$\sqrt{2}$，△ABD的面积为1，
四边形ABEF的面积为1+2$\sqrt{2}$+1=2$\sqrt{2}$+2，
a=2×（2$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$+4，
∴正八边形的面积为2a，

通过计算可以看出：第n个正多边形的面积为$\frac{n+1}{2}$a．

点评 本题考查的是正多边形与圆的关系，求出正多边形的一个内角，设出边长，根据特殊角的性质和勾股定理表示出有关的边长，求出正多边形的面积，根据计算结果找出规律是解题的关键．