Question

如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径．

 

Answer 1

解答：    （1）证明：连接OA；

∵BA平分∠CBF，

∴∠ADB=∠CAB，

∵，

∴△ADB∽△CBA，

∴∠ADB=∠CAB，

又∵BC为⊙O的直径，

∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，

又∵点A在圆O上，

∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=∠DBA，

∴FB∥OA，

∴∠ADB+∠OAD=180°，

∠OAD=90°，

∴OA⊥DA，∵OA为半径，

∴DA为⊙O的切线．

（2）解：连接CM，

∵OM⊥AC于点E，OM是半径，

∴=，

∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，

∴sin∠ABM=sin∠CBM=，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BMC=90°，

在RT△BMC中，sin∠CBM=，

∴=，

∴BC=10，

∴⊙O的半径为5．