Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4$\sqrt{3}$，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．直角∠PMQ绕顶点M旋转，使得边MP于线段BA交于点P，边MQ与线段AC交于点Q．
（1）判断△PBM与△QNM是否相似，如果相似，请写出证明过程；
（2）设BP的长为x，Rt△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）探求BP²，PQ²，CQ²三者数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义、同角的余角相等得到∠CNM=∠B，∠BMP=∠NMQ，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的性质、直角三角形的性质用x表示出AQ、AP的长，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据（2）的结论、结合图形，运用函数思想进行计算即可．

解答 解：（1）△PBM与△QNM相似，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠CNM+∠C=90°，
∴∠CNM=∠B，
∵∠PMQ=90°，MN⊥BC，
∴∠BMP=∠NMQ，
∴△PBM∽△QNM；
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴BC=8$\sqrt{3}$，AC=12，
∵M是BC边的中点，
∴BM=MC=4$\sqrt{3}$，MN=4，NC=8，
∴AN=4，
∵△PBM∽△QNM，
∴$\frac{NQ}{BP}$=$\frac{MN}{BM}$，即$\frac{NQ}{x}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$，
解得，NQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴AQ=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×AQ×AP=$\frac{1}{2}$×（4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）×（4$\sqrt{3}$-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+8$\sqrt{3}$，0≤x＜4$\sqrt{3}$；
（3）BP²+CQ²=PQ²，
证明：由（2）得，AQ=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AP=4$\sqrt{3}$-x，
由勾股定理得，PQ²=AQ²+AP²=（4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²+（4$\sqrt{3}$-x）²
=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$x+64，
CQ²=（8-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{16}{3}\sqrt{3}$x+64，BP²=x²，
∴CQ²+BP²=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$x+64，
∴BP²+CQ²=PQ²．

点评 本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用．