Question

11．小明在学习时遇到这样一个问题：
如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=-x²+3x-2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根据a₁+a₂=0b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a₂，b₂，c₂，可得旋转函数；
（2）根据y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a₂，b₂，c₂，根据负数偶数次幂是正数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A₁，B₁，C₁，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a₂，b₂，c₂，可得旋转函数．

解答 解：（1）由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2．
由a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，得
a₂=1，b₂=3，c₂=2．
函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；
（2）由y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数“，得
-2n=$\frac{4}{3}$m，-2+n=0．
解得n=2，m=-3．
当m=2，n=-3时，（m+n）²⁰¹⁶=（2-3）²⁰¹⁶=（-1）²⁰¹⁶=1；
（3）∵当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，x=4，
∴A（-1，0），B（4，0）．
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$×（-4）=2，即C（0，2）．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，得
A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2）．
设过点A₁，B₁，C₁的二次函数y=ax²+bx+c，将A₁，B₁，C₁代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
过点A₁，B₁，C₁的二次函数y$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2．
y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2函数可知a₁=-$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{3}{2}$，c₁=2．
由a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，得a₂=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{3}{2}$，c₂=-2．
y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的“旋转函数”为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2．
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”得出a₂，b₂，c₂是解题关键．