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【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ +bx+c与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,

(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.

【答案】
(1)

解:当x=0时,y=4,即C(0,4),

当y=0时,x+4=0,解得x=﹣4,即A(﹣4,0),

将A、C点坐标代入函数解析式,得

解得

抛物线的表达式为y= ﹣x+4


(2)

解:PQ=2AO=8,

又PQ∥AO,即P、Q关于对称轴x=﹣1对称,

PQ=8,﹣1﹣4=﹣5,

当x=﹣5时,y= ×(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣ ,即P(﹣5,﹣ );

﹣1+4=3,即Q(3,﹣ );

P点坐标(﹣5,﹣ ),Q点坐标(3,﹣


(3)

解:∠MCO=∠CAB=45°,

① 当△MCO∽△CAB时, = ,即 =

CM=

如图1

过M作MH⊥y轴于H,MH=CH= CM=

当x=﹣ 时,y=﹣ +4=

∴M(﹣ );

当△OCM∽△CAB时, = ,即 = ,解得CM=3

如图2

过M作MH⊥y轴于H,MH=CH= CM=3,

当x=﹣3时,y=﹣3+4=1,

∴M(﹣3,1),

综上所述:M点的坐标为(﹣ ),(﹣3,1)


【解析】(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称,可得P、Q关于直线x=﹣1对称,根据PQ的长,可得P点的横坐标,Q点的横坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得CM的长,根据等腰直角三角形的性质,可得MH的长,再根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.

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A.
B.
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售价x(元/千克)

50

60

70

销售量y(千克)

100

80

60


(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?

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