【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ +bx+c与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.
【答案】
(1)
解:当x=0时,y=4,即C(0,4),
当y=0时,x+4=0,解得x=﹣4,即A(﹣4,0),
将A、C点坐标代入函数解析式,得
,
解得 ,
抛物线的表达式为y= ﹣x+4
(2)
解:PQ=2AO=8,
又PQ∥AO,即P、Q关于对称轴x=﹣1对称,
PQ=8,﹣1﹣4=﹣5,
当x=﹣5时,y= ×(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣ ,即P(﹣5,﹣ );
﹣1+4=3,即Q(3,﹣ );
P点坐标(﹣5,﹣ ),Q点坐标(3,﹣ )
(3)
解:∠MCO=∠CAB=45°,
① 当△MCO∽△CAB时, = ,即 = ,
CM= .
如图1
,
过M作MH⊥y轴于H,MH=CH= CM= ,
当x=﹣ 时,y=﹣ +4= ,
∴M(﹣ , );
当△OCM∽△CAB时, = ,即 = ,解得CM=3 ,
如图2
,
过M作MH⊥y轴于H,MH=CH= CM=3,
当x=﹣3时,y=﹣3+4=1,
∴M(﹣3,1),
综上所述:M点的坐标为(﹣ , ),(﹣3,1)
【解析】(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、C点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称,可得P、Q关于直线x=﹣1对称,根据PQ的长,可得P点的横坐标,Q点的横坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得CM的长,根据等腰直角三角形的性质,可得MH的长,再根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cosC= ,求AE的长.
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【题目】端午节那天,小贤回家看到桌上有一盘粽子,其中有豆沙粽、肉粽各1个,蜜枣粽2个,这些粽子除馅外无其他差别.
(1)小贤随机地从盘中取出一个粽子,取出的是肉粽的概率是多少?
(2)小贤随机地从盘中取出两个粽子,试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点P在对角线AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圆.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若AC=8,tan∠BAC= ,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB= S矩形ABCD , 则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为( )
A.
B.
C.5
D.
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克) | 50 | 60 | 70 |
销售量y(千克) | 100 | 80 | 60 |
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料,某同学去该店购买饮料,每种饮料被选中的可能性相同.
(1)若他去买一瓶饮料,则他买到奶汁的概率是多少?
(2)若他两次去买饮料,每次买一瓶,且两次所买饮料品种不同,请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.
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【题目】一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的部分图象如图所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2<x1<3,则它的另一个根x2的取值范围是 .
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