Question

16．已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC-CD；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由此可以证明．
（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，证明方法类似（1）．
（3）如图3中，结论：△ACF是等腰三角形，只要证明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE以及∠DCE=90°，再利用直角三角形斜边中线定理即可解决．

解答 （1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE，CE=BC-CD．
（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD．
（3）如图3中，结论：△ACF是等腰三角形．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°，
又∵点F是DE中点，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$DE，
∴△ACF是等腰三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．