Question

5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若PC=2，OA=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）作OH⊥PB于H，设⊙O的半径为r，根据勾股定理分别表示出AC²和AB²，根据AB=AC列出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连结OB，如图1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OA⊥AC，
∴∠ACB+∠APC=90°，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP+∠ACB=90°，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥PB于H，如图2，则BH=PH，
设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=3-r，
在Rt△PAC中，AC²=PC²-PA²=2²-（3-r）²，
在Rt△OAB中，AB²=OA²-OB²=3²-r²，
又∵AB=AC，
∴（2）²-（3-r）²=3²-r²，
解得r=1，
即⊙O的半径为1．

点评 本题考查的是切线的判定、勾股定理的应用、垂径定理的应用，正确作出辅助线、掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．