Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，AC⊥BC于点C，且点C在y的正半轴上，点A和点B分别在x的负半轴和正半轴，AC＝BC，AB＝8．

（1）求点C的坐标；

（2）点D从点C出发以1个单位/秒的速度向y的负半轴方向运动，同时点G从点B出发以1个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，连接DG交直线BC于点F．设D、G两点运动时间为t秒，△DOF的面积为s，请用t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点F作FP⊥DF，过点C作x轴的平行线交FP于点P，连接AD，是否存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，4）；（2），（3）存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍，t＝或t＝．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可求得OC的长度，即可求出C点坐标；

（2）证明△DHF≌△GBF，根据全等三角形对应边相等可知点F是DG的中点，所以可证,分情况讨论即可；

（3）先判断△POI为等腰直角三角形，利用面积公式表示出△CPF和△AOD的面积，用2倍建立方程，解出即可．

解：（1）∵AC＝BC，AB＝8，

∴OB＝4，

∵AC⊥BC，AC＝BC，

∴∠OBC＝45°．

∵∠BOC＝90°，

∴OC＝OB＝4，

∵点C在y的正半轴上，

∴C（0，4）；

（2）过点D作DH∥x轴交直线BC于点H，

∵DH∥x轴，∠BOC＝90°，∠OBC＝45°．

∴∠HDF＝∠BGF，∠CDH＝∠BOC=90°, ∠OCB＝45°,

∴CD=DH，

∵D，G两点速度相同，

∴CD＝DH＝BG，

在△DHF和△GBF中，

，

∴△DHF≌△GBF，

∴点F是DG的中点，

当0＜t＜4时，如图1，

∵OD＝4﹣t，OG＝4+t，

，

当t=4时，D点与O点重合，此时S=0，

如图2，当t＞4时，

∵OD＝t﹣4，OG＝4+t，

；

故 .

（3）如图3，

连接PD、PG、PO，过点F作E⊥CP于点E，过点P作PI⊥PO交x轴于点I，

∴△POI为等腰直角三角形，且OB＝BI＝OC＝CP，

∴点P（4，4），CP＝4．

当0≤t＜4时，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（4﹣t）＝8﹣2t

∴t+4＝2（8﹣2t），

解得t＝，

当t＞4时，EF＝t+2，

S△CPF＝CP×EF＝×4×（t+2）＝t+4

S△AOD＝OA×OD＝×4×（t﹣4）＝2t﹣8

∴t+4＝2（2t﹣8），

解得t＝．

∴存在t，使△CPF的面积等于△AOD面积的2倍，t＝或t＝．