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【题目】如图,在直角坐标系中,抛物线y=﹣(x+1)2+4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.

(1)写出抛物线顶点D的坐标   

(2)点D1是点D关于y轴的对称点,判断点D1是否在直线AC上,并说明理由;

(3)若点E是抛物线上的点,且在直线AC的上方,过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F,求线段EF的最大值.

【答案】(1) (﹣1,4);(2)见解析;(3) 2.25.

【解析】

1)根据二次函数的解析式直接写出即可;

2)先根据二次函数求出AC的坐标,再用待定系数法确定直线AC的关系式,再求出

D1,把它代入直线判断是否再直线上;

3)设点Ex,﹣x22x+3),Fxx+3),则EF=(﹣x22x+3)﹣(x+3)=﹣x23x=﹣(x+1.52+2.25 则可知x=-1.5时,EF的最大值2.25.

解:(1∵y=﹣(x+12+4

抛物线顶点D的坐标是(﹣14).

故答案为(﹣14);

(2)点D1在直线AC上,理由如下:

抛物线y=﹣(x+12+4x轴交于点AB,与y轴交于点C

y0时,﹣(x+12+40,解得x1或﹣3A(﹣30),B10),

x0时,y=﹣1+43C03).

设直线AC的解析式为y=kx+b,

由题意得,解得

直线AC的解析式为yx+3

D1是点D关于y轴的对称点,D(﹣14).

∴D114),

∵x1时,y1+34

D1在直线AC上;

3)设点Ex,﹣x22x+3),则Fxx+3),

∵EF=(﹣x22x+3)﹣(x+3)=﹣x23x=﹣(x+1.52+2.25

线段EF的最大值是2.25

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