Question

【题目】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②BG＝EG；③△MFG为等腰三角形；④DE：AB＝1＋:1，其中正确结论的序号为_________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC＝∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG＝90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，可得BG＝EG，H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可得到HO＝BG，HO∥BG，以及∠MOH＝∠EGC＝45°，再根据等腰直角三角形的性质，得出OF＝EG，∠OFG＝45°，以及OH＝OF，根据∠MHO＋∠HOM＝∠OFH＋∠OFG，即可得出∠FMG＝∠MFG，最后根据等腰直角三角形的边角关系，得出DB：AB＝：1，即可得到DE：AB＝：1．

∵正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，

∴∠BCE＝∠DCG＝90°，BC＝DC，EC＝GC，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠CGD＝∠CEB，

又∵∠CDG＝∠HDE，

∴∠EHD＝∠GCD＝90°，

∴GH⊥BE，故①正确；

∵∠EGC的平分线GH过点D，

∴∠BGH＝∠EGH，

∵GH⊥BE，

∴∠BHG＝∠EHG＝90°，

∵GH=GH，

∴△BGH≌△EGH（ASA），

∴BG＝EG，故②正确；

∵BG＝EG，GH⊥BE，

∴H为BE的中点，

又∵O是EG的中点，

∴HO是△BEG的中位线，

∴HO＝BG，HO∥BG，

∴∠MOH＝∠EGC＝45°，

如图，连接FO，

∵O是EG的中点，

∴等腰Rt△EFG中，OF＝EG，∠OFG＝45°，

∴OH＝OF，

∴∠OHF＝∠OFH，

∴∠MHO＋∠HOM＝∠OFH＋∠OFG，即∠FMG＝∠MFG，

∴FG＝MG，即△MFG是等腰三角形，故③正确；

如图，连接BD，

∵HG垂直平分BE，

∴DE＝DB，

∵Rt△ABD中，DB：AB＝：1，

∴DE：AB＝：1，故④错误；

故答案为：①②③