【题目】如图1,为等腰直角三角形,,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论,_____________.
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度,得到如图2的情形,BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,证明你的判断.
(3)将图1中的正方形CDEF,绕着点按逆时针方向旋转,得到如图3的情形,点恰好落在斜边上,若,求正方形CDEF的边长.
【答案】(1)BF=AD,BF⊥AD;(2)结论仍然成立.理由见解析(3)2.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得CA=CB,再根据正方形的性质得CF=CD,∠ACD=90°,根据旋转的定义得到把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD,然后根据旋转的性质得BF=AD,BF⊥AD.
(2)由(1)得CB=CA,CF=CD,∠BCA=∠FCD=90°,易得∠BCF=∠ACD,所以把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD,根据旋转的性质得BF=AD,BF⊥AD;
(3)如图4,作EH⊥AC于H,连结CE,由于将图1中的正方形CDEF,绕着点C按逆时针方向旋转105°,根据旋转的性质得∠ACD=105°90°=15°;再根据正方形的性质得∠ECD=45°,则∠ACE=60°,而△ABC为等腰直角三角形,则∠A=45°;在Rt△CEH中,设CH=x,根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=2x,EH=x,在Rt△AEH中,根据等腰直角三角形的性质得AH=EH=x,则AH+CH=x+x,所以x+x=2+2,解得x=2,则CE=2x=4,然后根据等腰直角三角形的性质计算出CD=CE=2.
(1)∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴CA=CB,
∵四边形CDEF为正方形,
∴CF=CD,∠ACD=90°,
∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD,
∴BF=AD,BF⊥AD.
故答案为BF=AD,BF⊥AD;
(2)(1)中得到的结论仍然成立.理由如下:
由(1)得CB=CA,CF=CD,∠BCA=∠FCD=90°,
∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCD,即∠BCF=∠ACD,
∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD,
∴BF=AD,BF⊥AD;
(3)如图4,作EH⊥AC于H,连结CE,
∵将图1中的正方形CDEF,绕着点C按逆时针方向旋转105°,
∴∠ACD=105°90°=15°,
∵四边形CDEF为正方形,
∴∠ECD=45°,
∴∠ACE=45°+15°=60°,
∴∠A=45°,
在Rt△CEH中,设CH=x,则CE=2x,
∴EH==x,
在Rt△AEH中,AH=EH=x,
∴AH+CH=x+x,
而AC=2+2,
∴x+x=2+2,解得x=2,
∴CE=2x=4,
∵△CED为等腰直角三角形,
∴CD=CE=2,
即正方形CDEF的边长为2.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)方程ax2+bx+c=0的两个根为____________;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集为________;
(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________;
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围为________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.(1)∠APB的度数为_______°;(2)求证:△ABP≌△FBP;(3)求证:AH+BD=AB.
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【题目】如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,对于下面四个结论:①GH⊥BE;②BG=EG;③△MFG为等腰三角形;④DE:AB=1+:1,其中正确结论的序号为_________.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE、DE、DC。
(1)求证:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BCD的度数。
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【题目】如图平面直角坐标系中,A点坐标为(0,1),AB=BC=,∠ABC=90°,CD⊥x轴.
(1)填空:B点坐标为 ,C点坐标为 .
(2)若点P是直线CD上第一象限上一点且△PAB的面积为6.5,求P点的坐标;
(3)在(2)的条件下点M是x轴上线段OD之间的一动点,当△PAM为等腰三角形时,直接写出点M的坐标.
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