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【题目】如图1为等腰直角三角形,FAC边上的一个动点(点FAC不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BFAD

1)猜想图1中线段BFAD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论,_____________

2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度,得到如图2的情形,BFAC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,证明你的判断.

3)将图1中的正方形CDEF,绕着点按逆时针方向旋转,得到如图3的情形,点恰好落在斜边上,若,求正方形CDEF的边长.

【答案】1BFADBFAD;(2)结论仍然成立.理由见解析(32

【解析】

1)根据等腰直角三角形的性质得CACB,再根据正方形的性质得CFCD,∠ACD90°,根据旋转的定义得到把CBF绕点C顺时针旋转90°可得到CAD,然后根据旋转的性质得BFADBFAD

2)由(1)得CBCACFCD,∠BCA=∠FCD90°,易得∠BCF=∠ACD,所以把CBF绕点C顺时针旋转90°可得到CAD,根据旋转的性质得BFADBFAD

3)如图4,作EHACH,连结CE,由于将图1中的正方形CDEF,绕着点C按逆时针方向旋转105°,根据旋转的性质得∠ACD105°90°15°;再根据正方形的性质得∠ECD45°,则∠ACE60°,而ABC为等腰直角三角形,则∠A45°;在RtCEH中,设CHx,根据含30度的直角三角形三边的关系得CE2xEHx,在RtAEH中,根据等腰直角三角形的性质得AHEHx,则AHCHxx,所以xx22,解得x2,则CE2x4,然后根据等腰直角三角形的性质计算出CDCE2

1)∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB90°

CACB

∵四边形CDEF为正方形,

CFCD,∠ACD90°

∴把CBF绕点C顺时针旋转90°可得到CAD

BFADBFAD

故答案为BFADBFAD

2)(1)中得到的结论仍然成立.理由如下:

由(1)得CBCACFCD,∠BCA=∠FCD90°

∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCD,即∠BCF=∠ACD

∴把CBF绕点C顺时针旋转90°可得到CAD

BFADBFAD

3)如图4,作EHACH,连结CE

∵将图1中的正方形CDEF,绕着点C按逆时针方向旋转105°

∴∠ACD105°90°15°

∵四边形CDEF为正方形,

∴∠ECD45°

∴∠ACE45°15°60°

∵△ABC为等腰直角三角形,

∴∠A45°

RtCEH中,设CHx,则CE2x

EH=x

RtAEH中,AHEHx

AHCHxx

AC22

xx22,解得x2

CE2x4

∵△CED为等腰直角三角形,

CDCE2

即正方形CDEF的边长为2

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