Question

【题目】如图1，为等腰直角三角形，，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．

（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论，_____________．

（2）将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2的情形，BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，证明你的判断．

（3）将图1中的正方形CDEF，绕着点按逆时针方向旋转，得到如图3的情形，点恰好落在斜边上，若，求正方形CDEF的边长．

Answer 1

【答案】（1）BF＝AD，BF⊥AD；（2）结论仍然成立．理由见解析（3）2．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得CA＝CB，再根据正方形的性质得CF＝CD，∠ACD＝90°，根据旋转的定义得到把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，然后根据旋转的性质得BF＝AD，BF⊥AD．

（2）由（1）得CB＝CA，CF＝CD，∠BCA＝∠FCD＝90°，易得∠BCF＝∠ACD，所以把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，根据旋转的性质得BF＝AD，BF⊥AD；

（3）如图4，作EH⊥AC于H，连结CE，由于将图1中的正方形CDEF，绕着点C按逆时针方向旋转105°，根据旋转的性质得∠ACD＝105°90°＝15°；再根据正方形的性质得∠ECD＝45°，则∠ACE＝60°，而△ABC为等腰直角三角形，则∠A＝45°；在Rt△CEH中，设CH＝x，根据含30度的直角三角形三边的关系得CE＝2x，EH＝x，在Rt△AEH中，根据等腰直角三角形的性质得AH＝EH＝x，则AH＋CH＝x＋x，所以x＋x＝2＋2，解得x＝2，则CE＝2x＝4，然后根据等腰直角三角形的性质计算出CD＝CE＝2．

（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴CA＝CB，

∵四边形CDEF为正方形，

∴CF＝CD，∠ACD＝90°，

∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，

∴BF＝AD，BF⊥AD．

故答案为BF＝AD，BF⊥AD；

（2）（1）中得到的结论仍然成立．理由如下：

由（1）得CB＝CA，CF＝CD，∠BCA＝∠FCD＝90°，

∴∠BCA＋∠ACF＝∠ACF＋∠FCD，即∠BCF＝∠ACD，

∴把△CBF绕点C顺时针旋转90°可得到△CAD，

∴BF＝AD，BF⊥AD；

（3）如图4，作EH⊥AC于H，连结CE，

∵将图1中的正方形CDEF，绕着点C按逆时针方向旋转105°，

∴∠ACD＝105°90°＝15°，

∵四边形CDEF为正方形，

∴∠ECD＝45°，

∴∠ACE＝45°＋15°＝60°，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，

在Rt△CEH中，设CH＝x，则CE＝2x，

∴EH=＝x，

在Rt△AEH中，AH＝EH＝x，

∴AH＋CH＝x＋x，

而AC＝2＋2，

∴x＋x＝2＋2，解得x＝2，

∴CE＝2x＝4，

∵△CED为等腰直角三角形，

∴CD＝CE＝2，

即正方形CDEF的边长为2．