【题目】如图平面直角坐标系中,A点坐标为(0,1),AB=BC=,∠ABC=90°,CD⊥x轴.
(1)填空:B点坐标为 ,C点坐标为 .
(2)若点P是直线CD上第一象限上一点且△PAB的面积为6.5,求P点的坐标;
(3)在(2)的条件下点M是x轴上线段OD之间的一动点,当△PAM为等腰三角形时,直接写出点M的坐标.
【答案】(1)(3,0),(4,3);(2)P(4,4);(3)(1,0)或().
【解析】
(1)根据勾股定理可求出OB=3,证明△AOB≌△DBC,可得出OA=BD=1,OB=DC=3,则B,C两点的坐标可求出;
(2)设P(4,a),由三角形面积可得出关于a的方程,解方程即可得出答案;
(3)根据M是x轴上线段OD之间的一动点,画出图形,有两种可能,当AP=MP或AM=MP时,设M(x,0),可得出关于x的方程,解方程即可得解.
解:(1)∵A点坐标为(0,1),AB=BC=,
∴OB===3,
∵∠ABC=90°,∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,∠ABO+∠CBD=90°,
∴∠OAB=∠CBD,
∵∠AOB=∠BDC,
∴△AOB≌△DBC(AAS),
∴OA=BD=1,OB=DC=3,
∴B(3,0),C(4,3),
故答案为:(3,0),(4,3);
(2)如图1,设P(4,a),
∵△PAB的面积为6.5,
∴S△PAB=S四边形AODP﹣S△AOB﹣S△BDP==6.5,
解得:a=4,
∴P(4,4);
(3)M是x轴上线段OD之间的一动点,如图2,当AP=MP,
∵P(4,4),A(0,1),设M(x,0),
∴42+(4﹣1)2=(x﹣4)2+42,
解得:x1=1,x2=7(舍去),
∴M(1,0),
如图3,AM=MP时,
x2+12=(x﹣4)2+42,
解得x=,
∴,
综合以上可得点M的坐标为(1,0)或().
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【题目】如图1,为等腰直角三角形,,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论,_____________.
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度,得到如图2的情形,BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,证明你的判断.
(3)将图1中的正方形CDEF,绕着点按逆时针方向旋转,得到如图3的情形,点恰好落在斜边上,若,求正方形CDEF的边长.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC,其中正确的有( )
A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④
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【题目】如图1、图2,在圆O中,OA=1,AB=,将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤360),点A的对应点是A′.
(1)点O到线段AB的距离是 ;∠AOB= °;点O落在阴影部分(包括边界)时,α的取值范围是 ;
(2)如图3,线段B与优弧ACB的交点是D,当∠A′BA=90°时,说明点D在AO的延长线上;
(3)当直线A′B与圆O相切时,求α的值并求此时点A′运动路径的长度.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠CAD=∠CBD.
(1)求证:CD平分∠ACB;
(2)点E是AD延长线上一点,CE=CA,CF∥BD交AE于点F,若∠CAD=15°,
求证:EF=BD.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求证:AC平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CECP;
(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.
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【题目】如图,动点、分别在直线与上,且,与的角平分线相交于点,若以为直径作,则点与的位置关系是( )
A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O上 D. 以上都有可能
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【题目】如图,点P在∠MON的角平分线上,过点P作OP的垂线交OM,ON于C、D,PA⊥OM.PB⊥ON,垂足分别为A、B,EP∥BD,则下列结论错误的是( )
A.CP=PDB.PA=PBC.PE=OED.OB=CD
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