【题目】如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
(1)求证:AC平分∠FAB;
(2)求证:BC2=CECP;
(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】(1)根据已知先证明∠ACF=∠ACE,再根据等角的余角相等即可证得;
(2)只要证明△CBE∽△CPB,可得即可解决问题;
(3)作BM⊥PF于M,则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tan∠BCM的值即可解决问题;
(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∵∠BCP=∠BCE,
∴∠ACF=∠ACE,
∵∠AFC=90°,∠AEC=90°,
∴∠FAC=∠EAC,
即AC平分∠FAB;
(2)∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,
∴∠OCP=∠CEB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,
∴∠BCE=∠BCP,
∵CD是直径,
∴∠CBD=∠CBP=90°,
∴△CBE∽△CPB,
∴,
∴BC2=CECP;
(3)如图,作BM⊥PF于M.则CE=CM=CF,
设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,
∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,
∴∠MCB=∠PBM,
∵CD是直径,BM⊥PC,
∴∠CMB=∠BMP=90°,
∴△BMC∽△PMB,
∴,
∴BM2=CMPM=3a2,
∴BM=a,
∴tan∠BCM=,
∴∠BCM=30°,
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°,
∴的长=.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE、DE、DC。
(1)求证:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BCD的度数。
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【题目】已知:关于x的一元二次方程kx2﹣(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求k的值.
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【题目】如图平面直角坐标系中,A点坐标为(0,1),AB=BC=,∠ABC=90°,CD⊥x轴.
(1)填空:B点坐标为 ,C点坐标为 .
(2)若点P是直线CD上第一象限上一点且△PAB的面积为6.5,求P点的坐标;
(3)在(2)的条件下点M是x轴上线段OD之间的一动点,当△PAM为等腰三角形时,直接写出点M的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点A(2,m).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点B在轴的上,且OA=BA,反比例函数图像上有一点C,且∠ABC=90°,求点C坐标.
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【题目】如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线MD交AC于点D,AB于M,以下结论:①△BCD是等腰三角形;②射线BD是△ACB的角平分线;③△BCD的周长C△BCD=AC+BC;④△ADM≌BCD.正确的有( )
A.①②③B.①②C.①③D.③④
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【题目】某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.
方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式.
(2)若小亮一年内来此游泳馆的次数为15次,选择哪种方式比较划算?
(3)若小亮计划拿出1400元用于在此游泳馆游泳,采用哪种付费方式更划算?
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【题目】如图所示,图①是一个三角形,分别连接三边中点得图②,再分别连接图②中的小三角形三边中点,得图③……按此方法继续下去.
在第个图形中有______个三角形(用含的式子表示)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(m,3)、B(﹣6,n),与x轴交于点C.
(1)求一次函数y=kx+b的关系式;
(2)结合图象,直接写出满足kx+b>的x的取值范围;
(3)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
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