Question

【题目】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAD=∠CBD．

（1）求证：CD平分∠ACB;

（2）点E是AD延长线上一点，CE=CA，CF∥BD交AE于点F，若∠CAD=15°，

求证：EF=BD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝∠ABC，进而得到∠BAD=∠ABD，由等角对等边可得DA=DB，利用SSS证明△DAC≌△DBC，得到∠DCA＝∠DCB即可得出结论；

（2）根据△DAC≌△DBC，CE=CA可得∠DBC＝∠E＝15°，CE=CA=CB，然后根据三角形外角的性质求出∠BDF＝60°，利用平行线的性质得出∠CFD＝60°，可得∠CFE＝120°，再根据三角形内角和定理求出∠CDB＝120°，利用AAS证明△BDC≌△EFC即可得出结论.

证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠BAD=∠ABD，

∴DA=DB，

又∵AC=BC，CD=CD，

∴△DAC≌△DBC，

∴∠DCA＝∠DCB，即CD平分∠ACB；

（2）∵△DAC≌△DBC，CE=CA，∠CAD=15°，

∴∠DBC＝15°，∠E＝15°，CE=CA=CB，

∴∠BAD=∠ABD＝45°－15°＝30°，

∴∠BDF＝30°＋30°＝60°，

∵CF∥BD，

∴∠CFD＝∠BDF＝60°，

∴∠CFE＝120°，

又∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB＝45°，

∴∠CDB＝180°－15°－45°＝120°，

在△BDC和△EFC中，，

∴△BDC≌△EFC（AAS），

∴EF=BD．