Question

14．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=40cm，AC=30cm，BC=50cm，有一动点P从点B出发，以1cm/秒的速度沿B→C→D运动至D点停止，当运动时间为20或25或14或80秒时，以P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer 1

分析 设点P的运动时间为ts，（1）当点P在边BC上时，分三种情况：①若CP=CA=30cm时，t=20s；②若PA=PC，得出t=25s；③若AP=AC，t=14s；
（2）当点P在边CD上时，t=80s；即可得出结果．

解答 解：设点P的运动时间为ts，（1）当点P在边BC上时，如图1所示：
分三种情况：
①若CP=CA=30cm时，BP=BC-CP=20cm，
∴t=20s；
②若PA=PC，
∵30²+40²=50²，
∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴PA=PC=$\frac{1}{2}$BC=25cm，
∴BP=25cm，
∴t=25s；
③若AP=AC，作AE⊥BC于E，如图所示：
则PE=CE，
由射影定理得：AC²=CE•BC，
∴CE=$\frac{A{C}^{2}}{BC}$=$\frac{3{0}^{2}}{50}$=18（cm），
∴PC=2CE=36cm，
∴BP=BC-PC=14cm，
∴t=14s；
（2）当点P在边CD上时，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=90°，
只有CP=CA=30cm，BC+CP=80cm，
∴t=80s；
综上所述：当运动时间为20或25或14或80秒时，以P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；
故答案为：20或25或14或80．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、射影定理等知识；本题综合性强，难点在于要分情况讨论．