Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=900，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．

（1）求证：DE=EF；

（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A＋∠DGC．

Answer 1

【答案】（1）见解析.

（2）见解析.

【解析】

（1）通过由ASA证明△AED≌△CEF得出结论.

（2）如图，经过转换，将∠B转换成∠ADE，从而通过证明∠DGC=∠1和∠2=∠A得出结论.

证明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=900，点D为边AB的中点，

∴DC=DA（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）.

∵DE∥BC，∴AE=CE（平行线等分线段的性质），∠A=∠FCE（平行线的内错角相等）.

又∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），∴△AED≌△CEF（ASA）.

∴DE=EF（全等三角形对应边相等）.

（2）如图，∵在△ABC中，∠ACB=900，点D为边AB的中点，

∴DC=DB（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）.

∴∠B=∠4（等边对等角）.

又∵DE∥BC，∴∠4=∠3，∠B=∠ADE.

∵DG⊥DC，∴∠2＋∠3=900，即∠2＋∠D=900.

∵∠ACB=900，∴∠A＋∠D=900.∴∠2=∠A.

∵CF∥AB，∴∠DGC=∠1.

∴∠B=∠ADE=∠2＋∠1=∠A＋∠DGC.