Question

【题目】如图，已知直角梯形，，，过点作，垂足为点，，，点是边上的一动点，过作线段的垂直平分线，交于点，并交射线于点．

（1）如图1，当点与点重合时，求的长；

（2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域；

（3）如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）BC=5；（2）；（3）的长为或3或．

【解析】

（1）根据垂直平分线性质可知，设，，在中用勾股定理求出，即可解答；

（2）联结，，在中，，在中，，消去二次项即可得到与的函数关系式；根据点是边上的一动点结合（1）即可得出的定义域；

（3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据相等的边用勾股定理列方程求解即可．

解：（1）∵梯形中，，，，

∴，

∵是线段的垂直平分线，

∴，

在中，，

又∵，，设，，

，

∴，

∴．

（2）联结，，

∵是线段的垂直平分线，

∴

∵，，

∴

在中，

在中，

∴

∴

（3）在中，，，

∴，

当是等腰三角形时

①∵

∴

∵

∴

∴

②

取中点，联结

∵为的中点

∴为梯形中位线

∴

∵

∴为中点，

∴此时与重合

∴

③

联结并延长交延长线于点

此时．

∴，，

∴，

∴在中，，

∵

∴解得，（不合题意含去）

∴综上所述，当是等腰三角形时，的长为或3或