Question

4．已知如图：在△ABC中，∠ACB=Rt∠，⊙O的O点在BC上，且AB切⊙O于D，若OC：CB=1：3，AD=4．求BE的长．

Answer 1

分析 连结OD，如图，设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OB=2r，根据切线的性质得∠BDO=90°，则利用正弦的定义可求出∠B=30°，再判断AC为⊙O的切线，根据切线长定理可得AC=AD=4，然后在Rt△ABC中，利用正切定义可计算出BC=4$\sqrt{3}$，于是可得BE=OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：连结OD，如图，设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OB=2r，
∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BOD中，∵sinB=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{r}{2r}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∴AC=AD=4，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=$\frac{4}{tan30°}$=4$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．