Question

1．如图，正方形ABOD的边长为2，C为AB的中点，直线CD交x轴于点F．
（1）求CD所在直线的解析式；
（2）在x轴上取点E，连结DE，使得∠1=∠2，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在直线CD上运动，当点P运动到何处时，△POE的周长最小？求出此时点P的坐标和△POE的周长；
（4）在直线OA上是否存在点Q，使∠CQD=90°？若存在，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出C、D的坐标，用待定系数法即可求出CD所在直线的解析式；
（2）过点C作CG⊥DE于G，先证明△CGD≌△CAD，得出CG=CA，GD=AD，再证明Rt△CBE≌Rt△CGE，得出BE=GE，设BE=GE=x，则OE=2-x，DE=2+x，根据勾股定理求出x，即可得出E的坐标；
（3）先证明CE⊥DF，延长EC交DA的延长线于E′，证出点E′为点E关于直线CD的对称点，DE′=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，得出E′坐标；连接OE′交直线CD于P，则点P即为使△POE的周长最小的点，根据勾股定理求出OE′，即可得出△POE周长的最小值；求出直线OE’的解析式，通过解方程组得出得P的坐标；
（4）分两种情况：①当点Q与点A重合时，∠CQD=90°，点Q的坐标为（-2，2）；②作QM⊥OB于M，QN⊥ON于N，先证明△BQM≌△DQN，得出BQ=DQ，∠QBM=∠QDN，再证明CQ=BQ，即可得出结果．

解答 解（1）由题设得，C（-2，1），D（0，2），
设CD所在直线的解析式y=kx+b，
把C（-2，1），D（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+2；
（2）过点C作CG⊥DE于G，如图1所示：
则∠CGD=90°，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB=AB=OD=AD=2，AD∥OB，∠CAD=∠CBE=∠DOE=∠ODA=90°，
在△CGD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{∠CGD=∠CAD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△CAD（AAS），
∴CG=CA，GD=AD=2，
∵C为AB的中点，
∴CA=CB，
∴CB=CG，
在Rt△CBE和Rt△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{CB=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBE≌Rt△CGE（HL），
∴BE=GE，
设BE=GE=x，则OE=2-x，DE=2+x，
在Rt△DOE中，由勾股定理得，DE²=OE²+OD²，
即（2+x）²=（2-x）²+x²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$，OE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即点E的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）；
（3）由（1），（2）知：△CGD≌△CAD，△CBE≌△CGE，
∴∠ACD=∠GCD，∠GCE=∠BCE，
∵∠ACD+∠GCD+∠GCE+∠BCE=180°，
即2∠GCD+2∠GCE=180°，
∴∠GCD+∠GCE=90°，
∴CE⊥DF，
延长EC交DA的延长线于E′，如图1所示：
∵AD∥OB，CA=CB，
∴CE′=CE，AE′=BE=$\frac{1}{2}$，
则点E′为点E关于直线CD的对称点，DE′=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴E′（-$\frac{5}{2}$，2）；
连接OE′交直线CD于P，则点P即为使△POE的周长最小的点；
∴OE′=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴△POE周长的最小值为OE+OP+EP=OE+OP+PE’=OE+OE’=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{41}}{2}$；
设直线OE’的解析式为y=ax，
将E′（-$\frac{5}{2}$，2）代入得：-$\frac{5}{2}$a=2，
解得：a=-$\frac{4}{5}$，
∴直线OE’的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x；
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{5}x}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{20}{13}}\\{y=\frac{16}{13}}\end{array}\right.$，
∴得P的坐标为（-$\frac{20}{13}$，$\frac{16}{13}$）；
（4）在直线OA上存在点Q，使∠CQD=90°；
理由如下：分两种情况：①当点Q与点A重合时，∠CQD=90°，点Q的坐标为（-2，2）；
②如图2所示：作QM⊥OB于M，QN⊥ON于N，连接BQ，
则QM=QN=ON=OM，
∴BM=DN，
在△BQM和△DQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{QM=QN}&{\;}\\{∠QMB=∠QND=90°}&{\;}\\{BM=DN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BQM≌△DQN（SAS），
∴BQ=DQ，∠QBM=∠QDN，
∴∠CBQ=∠ADQ，
∵∠CQD=∠DAC=90°，
∴A、C、Q、D四点共圆，
∴∠BCQ=∠ADQ，
∴∠CBQ=∠BCQ，
∴CQ=BQ，
∴Q在BC的垂直平分线上，
∴QM=QN=$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$，
∴Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
综上所述：点Q的坐标为（-2，2），或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是一次函数综合题，考查了正方形的性质、一次函数解析式的求法、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最小值以及坐标特征等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）（4）中，需要通过作辅助线证明三角形全等、求一次函数解析式才能得出结果．