Question

6．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A，C，点A的坐标为（1，2），点B在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＜0）的图象上，且AB⊥BC．
（1）求k，m的值；
（2）若直线AB的函数关系式为y=ax+b，求a，b的值；
（3）求不等式ax+b≥$\frac{m}{x}$的解集（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程，解方程求得C的坐标，设B（x，$\frac{2}{x}$），根据勾股定理列出（x-1）²+（2-$\frac{2}{x}$）²+（x+1）²+（$\frac{2}{x}$+2）²=2²+4²，从而求得B（-2，-1），然后根据待定系数法求得即可；
（3）由图象可知当-2≤x＜0或x≥1．直线AB在反比例函数图象的上方，于是可得到不等式ax+b≥$\frac{m}{x}$的解集．

解答 解：（1）∵正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A的坐标为（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=2}\end{array}\right.$，
（2）∵正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=$\frac{2}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（-1，-2），
设B（x，$\frac{2}{x}$），
∵AB⊥BC，
∴AB²+BC²=AC²，即（x-1）²+（2-$\frac{2}{x}$）²+（x+1）²+（$\frac{2}{x}$+2）²=2²+4²，
整理得x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$=5，
∵x＜0，
解得x₁=-1，x₂=-2，
∴B（-2，-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
（3）∵A（1，2），B（-2，-1），
根据图象可知：不等式ax+b≥$\frac{m}{x}$的解集为-2≤x＜0或x≥1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．