Question

17．如图，在矩形ABCD中，AD=2DC=4，动点M以每秒1个单位的长度的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿线段CD向点D运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作QM⊥AB于点M交AC于点Q，连接QP．若点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）在上述运动中，当t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由QM∥CB，可得Rt△AQM∽Rt△ACB，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，从而求出QM；
（2）由于∠DCA为锐角，故有两种情况：①当∠CPQ=90°时，点P为MQ延长线于CD的交点，可得AM+CP=CD，从而可求t；②当∠PQC=90°时，设点E为MQ延长线与CD的交点，容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例线段，结合EQ=EM-QM=4-2t，可求t．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，∠B=90°，QM⊥AB于点M，
∴QM∥CB，
∴Rt△AQM∽Rt△ACB，
∴$\frac{QM}{CB}$=$\frac{AM}{AB}$，
即$\frac{QM}{4}$=$\frac{t}{2}$，
∴QM=2t=1；

（2）由于∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P为MQ延长线与CD的交点，
此时AM+CP=CD，即t+t=2，解得t=1，符合题意；
②当∠PQC=90°时，如图，设点E为MQ延长线与CD的交点，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，
∴$\frac{EQ}{MA}$=$\frac{PE}{QM}$，
∵EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{2t-2}{2t}$，
∴t=$\frac{5}{3}$，符合题意；
综上所述，t=1或$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，利用了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，还要掌握多种情况下的讨论解题法．