Question

【题目】如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x+4；(2)P(3，)；(3)N(，﹣3)．

【解析】

（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式；

（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标；

（3）设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．

解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5)，

把点A(0，4)代入上式得：a=，

∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4；=(x﹣3)2﹣，

(2)∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是x=3，

∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)，

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，

把A′(6，4)，B(1，0)代入得，解得，

∴y=x﹣，

∵点P的横坐标为3，

∴y=×3﹣=，

∴P(3，)；

(3)设N点的横坐标为t，此时点N(t，t2﹣t+4)(0＜t＜5)，

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G，作AD⊥NG于D，

由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，

把x=t代入得：y=﹣t+4，则G(t，﹣t+4)，

此时：NG=﹣t+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+4t，

∵AD+CF=CO=5，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NGOC=×(﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)2+，

∴当t=时，△CAN面积的最大值为，

由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，

∴N(，﹣3)．