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【题目】如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=8,BC=16,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P停止运动时,点Q也随之停止运动,设运动时间为t秒.

(1)当t为多少时,以点ABQD为顶点的四边形是平行四边形?

(2)当t为多少时,以点ABQP为顶点的四边形是平行四边形?

【答案】(1)t为4秒时2)t为秒时

【解析】

试题分析:(1)当四边形ABQD为平行四边形时,AD=BQ=8,由题意得出方程,解方程即可;

(2)当四边形ABQP为平行四边形时,AP=BQ; 由题意得出方程,解方程即可.

解:(1)当四边形ABQD为平行四边形时,AD=BQ=8,

Q点速度为2个单位/秒,

16﹣2t=8,

解得:t=4,

即当t为4秒时,以点ABQD为顶点的四边形是平行四边形;

(2)当四边形ABQP为平行四边形时,AP=BQ;

点P、Q速度分别为1个单位/秒、2个单位/秒,AD=8,BC=16,

t=16﹣2t,

解得:t=

即当t为秒时,以点ABQP为顶点的四边形是平行四边形.

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所挂物体的重量(kg)

0

1

2

3

4

5

6

7

弹簧的长度(cm)

12

12.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

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(2)如果所挂物体的重量为xkg,弹簧的长度为ycm,根据上表写出y与x的关系式;

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(1)如图1,ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:

延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到EBD),把AB、AC、2AD集中在ABE中,利用三角形的三边关系可得2AE8,则1AD4.

感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)问题解决:

受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.

①求证:BE+CFEF;②若A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明;

(3)问题拓展:

如图3,在四边形ABDC中,B+C=180°,DB=DC,BDC=120°,以D为顶点作EDF为60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

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