Question

8．已知抛物线y=ax²，经过点M（3，-$\frac{3}{2}$）．
（1）不求a的值，判断该抛物线经过下列哪点？为什么？
①M₁（3，$\frac{3}{2}$）
②M₂（-3，$\frac{3}{2}$）
③M₃（-3，-$\frac{3}{2}$）；
（2）画出这条抛物线，并指出其顶点坐标与对称轴；
（3）设点（p，q）是抛物线y=ax²的一个点，则一元二次方程x²-3x+q+1=0一定有两个不相等的实数根，为什么？

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称轴得到M（3，-$\frac{3}{2}$）关于y轴对称的点为M₃（-3，-$\frac{3}{2}$），于是可判断抛物线y=ax²经过点M₃（-3，-$\frac{3}{2}$）；
（2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用描点法画函数图象；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征得到q=-$\frac{1}{6}$p²，再计算判别式，然后说明判别式大于0，从而说明x²-3x+q+1=0一定有两个不相等的实数根．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²的对称轴为y轴，
而M（3，-$\frac{3}{2}$）与M₃（-3，-$\frac{3}{2}$）关于y轴对称，
∴抛物线y=ax²经过点M（3，-$\frac{3}{2}$），也经过点M₃（-3，-$\frac{3}{2}$）；
（2）把M（3，-$\frac{3}{2}$）代入y=ax²得9a=-$\frac{3}{2}$，解得a=-$\frac{1}{6}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²，
如图，

（3）∵点（p，q）是抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²的一个点，
∴q=-$\frac{1}{6}$p²，
∵△=（-3）²-4（q+1）
=5-4q
=5+$\frac{2}{3}$p²，
∵$\frac{2}{3}$p²≥0，
∴△＞0，
∴一元二次方程x²-3x+q+1=0一定有两个不相等的实数根

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的图象和根的判别式．