Question

19．要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决．
（1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽；
（2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点P，用不可伸缩的绳子分别连接BP，CP，点P取在何处所用绳子长最短？
（3）仍然是矩形养鸡场面积最大的情况下，若把（2）中的不可伸缩的绳子改为可以伸缩且有弹性的绳子，点P可以在墙上自由滑动，求sin∠BPC的最大值．

Answer 1

分析 （1）设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为$\frac{28-x}{2}$米，根据矩形的面积=长×宽，即可得出面积S关于长x之间的函数关系式，由二次函数在x的取值范围内的单调性即可得出结论；
（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，由三角形中两边之和大于第三边可知，当B、P、C′共线时PB+PC最小，根据相似三角形的性质即可得出P点在AD中点时，用的绳子最短，求出此时C′B的长度即可；
（3）作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，由外角知识及圆周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合时取等号），根据三角形的面积公式即可算出取最大值时sin∠BPC的值．

解答 解：（1）设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为$\frac{28-x}{2}$米，
根据矩形的面积公式可知S=x•$\frac{28-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-14）²+98，
∵0＜x≤12，在此区间内面积S关于长x的函数单调递增，
∴当x=12时，S取最大值，S_最大=96，
此时$\frac{28-x}{2}$=8．
故把整堵墙壁都用起来，矩形长为12米，宽为2米时矩形养鸡场的面积最大．
（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，如图一所示．

∵点C、C′关于AD对称，
∴PC=PC′，
∴PB+PC=PB+PC．
由三角形内两边之和大于第三边可知：当B、P、C′共线时PB+PC最小．
∵AD∥BC，
∴△C′PD∽△C′BC，
∴$\frac{PD}{BC}=\frac{C′D}{C′C}$=$\frac{1}{2}$，
∴PD=$\frac{1}{2}$BC，即P为AD的中点．
此时C′B=$\sqrt{B{C}^{2}+C′{C}^{2}}$=20（米）．
故当点P选在AD中点处时，需要的绳子最短，最短绳长为20米．
（3）作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，如图二所示．

任取线段AD上一点P，连接BP、CP，令CP与圆交于点G，连接BG．
∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，
∴∠BPC≤∠BGC．
当P、G两点重合时取等号，此时点P为AD的中点．
∵AD=12，AB=8，
∴AP=6，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=10，
∵△PBC的面积S=$\frac{1}{2}$BP•CP•sin∠BPC=$\frac{1}{2}$×10×10sin∠BPC=$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{2}$×12×8，
∴sin∠BPC=$\frac{24}{25}$．
故sin∠BPC的最大值为$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、最短路径问题、相似三角形的判定及性质、圆周角定理以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据面积=长×宽得出面积S关于长x的函数关系式；（2）找出当PB+PC最短时点P的位置；（3）找出∠BPC最大时点P的位置．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）寻找点P位置时有些难度，此问借助了圆周角定理以及外角的有关知识寻找到∠BPC最大时点P的位置，求∠BPC的正弦值时巧妙的利用了三角形的面积的两种求解方程，减少了解直角三角形的步骤．