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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,直线x轴、y轴分别相交于AB两点.

(1)求出A,B两点的坐标;

(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;

(3)设(2)中的抛物线交轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(﹣8,0),B(0,﹣6);(2);(3)存在.P点坐标为(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1)或(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1)时,使得

【解析】分析:(1)令已知的直线的解析式中x=0,可求出B点坐标,令y=0,可求出A点坐标;(2)根据AB的坐标易得到M点坐标,若抛物线的顶点C在⊙M上,那么C点必为抛物线对称轴与⊙O的交点;根据AB的坐标可求出AB的长,进而可得到⊙M的半径及C点的坐标,再用待定系数法求解即可;

3)在(2)中已经求得了C点坐标,即可得到ACBC的长;由圆周角定理:

ACB=90°,所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标.

本题解析:1)对于直线,当时, ;当时,

所以A(﹣8,0),B(0,﹣6);

(2)在Rt△AOB中,AB==10,∵∠AOB=90°,∴AB为⊙M的直径,

∴点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),∵MC∥y轴,MC=5,∴C(﹣4,2),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)+2,

把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=

∴抛物线的解析式为 ,即

(3)存在.

当y=0时, ,解得x=﹣2,x=﹣6,

∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),

设P(t -6),

=20,

即||=1,当=-1,

解得

此时P点坐标为(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1);

时 ,解得=﹣4+ =﹣4﹣

此时P点坐标为(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1).

综上所述,P点坐标为(﹣4+,-1)或(﹣4﹣,-1)或(﹣4+,1)或(﹣4﹣,1)时,使得

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