Question

【题目】已知二次函数（）图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有________．

Answer 1

【答案】②③④⑤

【解析】

①根据对称轴和图像与y轴的交点确定a、b、c的大小，从而判定①；②有函数图像与x轴有两个交点，即有两个实数根，根据根的判别式即可判定②；函数的对称轴为：x=-1=，解得：b=2a；当x=1，则a+2a+c＞0，即3a+c=0；又由a＞0，即可判定4a+c＞0；④若t为任意实数，x=-1时，函数取得最小值，故a-b+c≤at2+bt+c，即a-bt≤at2+b可判定④；⑤由题意知有一解为，根据二次函数的对称性可得另一解为，即x1=，x2=，然后代入即可判定⑤．

解：∵（）图象的对称轴为直线，

∴=-1,即ab＞0

∵函数图像与y轴的交点在x轴负半轴

∴c＜0

∴abc＜0,故①错误；

∵函数图像与x轴有两个交点

∴有两个实数根

∴，故②正确；

∵（）图象的对称轴为直线，

∴=-1,即b=2a

当x=1时，有a+2a+c＞0，即3a+c＞0

又∵函数图像开口向上

∴a＞0

∴4a+c＞0，故③正确；

∵当x=-1时，函数取得最小值，

∴若t为任意实数，有a-b+c≤at2+bt+c，即a-bt≤at2+b，即④正确；

由题意知有一解为，再由二次函数图像的对称性可得另一解为

∴x1=，x2=

∴

故答案为②③④⑤．