【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点D(0,3),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合),当△ADE与△ACD面积相等时,求点E的坐标;
(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),过点P向CD所在的直线作垂线,垂足为点Q,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时,求点P的坐标.
【答案】(1),(-1,4) (2)(-2,3),,
(3)(-4,-5),(,)
【解析】
(1)将A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入y=ax2+bx+3求出即可;(2)求出直线AD的解析式,分别过点C、H作AD的平行线,与抛物线交于点E,利用△ADE与△ACD面积相等,得出直线EC和直线EH的解析式,联立出方程组求解即可;(3) (3)分两种情况讨论:①点P在对称轴左侧;②点P在对称轴右侧.
(1)设抛物线的解析式为,
∵抛物线过点A(-3,0),B(1,0),D(0,3),
∴,解得,a=-1,b=-2,c=3,
∴抛物线解析式为,顶点C(-1,4);
(2)如图1,∵A(-3,0),D(0,3),
∴直线AD的解析式为y=x+3,
设直线AD与CH交点为F,则点F的坐标为(-1,2)
∴CF=FH,
分别过点C、H作AD的平行线,与抛物线交于点E,
由平行间距离处处相等,平行线分线段成比例可知,△ADE与△ACD面积相等,
∴直线EC的解析式为y=x+5,
直线EH的解析式为y=x+1,
分别与抛物线解析式联立,得,,
解得点E坐标为(-2,3),,;
(3)①若点P在对称轴左侧(如图2),只能是△CPQ∽△ACH,得∠PCQ=∠CAH,
∴,
分别过点C、P作x轴的平行线,过点Q作y轴的平行线,交点为M和N,
由△CQM∽△QPN,
得=2,
∵∠MCQ=45°,
设CM=m,则MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,
∴P点坐标为(-m-1,4-3m),
将点P坐标代入抛物线解析式,得,
解得m=3,或m=0(与点C重合,舍去)
∴P点坐标为(-4,-5);
②若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH,
∴,
延长CD交x轴于M,∴M(3,0)
过点M作CM垂线,交CP延长线于点F,作FNx轴于点N,
∴,
∵∠MCH=45°,CH=MH=4
∴MN=FN=2,
∴F点坐标为(5,2),
∴直线CF的解析式为y=,
联立抛物线解析式,得,解得点P坐标为(,),
综上所得,符合条件的P点坐标为(-4,-5),(,).
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【题目】如图,把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形,然后切开拼成一个近似的长方体,下列关于两个几何体的结论:①表面积不变;②表面积变大;③体积不变;④体积变大.其中结论正确的序号为________.
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【题目】如图,,点在边上,,点为边上一动点,连接,与关于所在直线对称,点,分别为,的中点,连接并延长交所在直线于点,连接.当为直角三角形时,的长为_____.
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【题目】已知二次函数()图象的对称轴为直线,部分图象如图所示,下列结论中:①;②;③;④若为任意实数,则有;⑤当图象经过点时,方程的两根为,,则,其中正确的结论有________.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为8,点E是正方形内部一点,连接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,点P是AB边上一动点,连接PD,PE,则PD+PE的长度最小值为_____.
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【题目】图1,图2分别是10×6的网格,网格中每个小正方形的边长均为1,每个网格中画有一个平行四边形,请分别在图1,图2中各画一条线段,各图均满足以下要求:
(1)线段的一个端点为平行四边形的顶点,另一个端点在平行四边形一边的格点上(每个小正方形的顶点均为格点);
(2)将平行四边形分割成两个图形,都要求其中一个是轴对称图形,图1,图2的分法不相同.
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【题目】体育理化考试前夕,九(2)班组织了体育理化考试模拟(体育+理化=100分),模拟测试后相关负责人对成绩进行了统计,制作如下频数分布表和频数分布直方图,请根据表中信息解答问题:
分数段(表示分数) | 频数 | 频率 |
5 | 0.1 | |
5 | ||
0.4 | ||
15 | 0.3 | |
5 | 0.1 |
(1)表中________,________,并补全直方图;
(2)若用扇形统计图描述此成绩分布情况,则分数段所对应扇形的圆心角度数是_____;
(3)若该校九年级共950名学生,请估计该年级分数在的学生有多少人?
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【题目】某企业为了解员工安全生产知识掌握情况,随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试,测试试卷满分100分.测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.(说明:测试成绩取整数,A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
请解答下列问题:
(1)该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有 人;
(2)补全条形统计图;
(3)若该企业共有员工800人,试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根,且AC﹣BC=2,D为AB的中点.
(1)求a的值.
(2)动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度,沿A→D→C的路线向点C运动;动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度,沿B→C的路线向点C运动,且点Q每运动1秒,就停止2秒,然后再运动1秒…若点P、Q同时出发,当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.
①在整个运动过程中,设△PCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围;
②是否存在这样的t,使得△PCQ为直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的t的值.
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