Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．

①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；

②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）48；（2）① S＝t2﹣t+24（0＜t≤1）或S＝﹣t+12（1＜t≤2.5）或S＝﹣t+12（2.5＜t≤3）或S＝t2﹣t+48（3＜t＜4）；②2.5秒，秒

【解析】

（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；

（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，

求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时， ;Ⅲ当2.5＜t≤3时， ;IV当3＜t＜4时

②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ， 得到 或 ，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．

（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，

∴AC+BC＝14，

又∵AC﹣BC＝2，

∴AC＝8，BC＝6，

∴a＝8×6＝48，

答：a的值是48．

（2）∵∠ACB=90°

∴

又∵D为AB的中点

∴

∵

过C作CE⊥AB于E，

根据三角形的面积公式得：

6×8=10CE

解得

过P作PK⊥BQ于K，

∵

∴

∴

（I）当0<t≤1时，

（II）同理可求：当1<t≤2．5时，

（III）当2．5<t≤3时

（IV）当3<t<4时

∵△PHC∽△BCA

∴

∴

∴PH=8-1．6t

∴

答：S与t之间的函数关系式是：

或

或

或

② 解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°

当P在AD上时，若∠PQC=90°，

∴

∴t=2.5

当P在DC上时，若∠PQC=90°

sinA=sin∠CPQ

或

或t=2．5

∵1<t<4

∴t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形

答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒， 秒