Question

【题目】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx +3a （a≠0）过点 A（1，0）．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）直线 y=－x+4 与 y 轴交于点 B，与该抛物线的对称轴交于点 C，现将点 B 向左平移 一个单位到点 D，如果该抛物线与线段 CD有交点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝2；（2）或．

【解析】

（1）代入（1，0）可得b＝－4a，然后根据抛物线的对称轴公式计算即可；

（2）首先求出抛物线过点（1，0），（3，0），然后分a＜0和a＞0两种情况，分别作出简图，结合图象根据抛物线与线段CD有交点得出不等式，即可求出a的取值范围．

解：（1）把（1，0）代入y ax2 bx +3a得：0＝a+b+3a，

∴b＝－4a，

∴抛物线的对称轴为：x＝；

（2）由（1）可知，抛物线解析式为：，对称轴为：x＝2，

∴抛物线过点（1，0），（3，0），

当x＝2时，y＝－x+4＝2，

∴C（2，2），

当a＜0时，如图，由该抛物线与线段 CD有交点可得：当x＝2时，，

即，

解得：；

当a＞0时，由题意得：B（0，4），

∴D（－1，4），

如图，由该抛物线与线段 CD有交点可得：当x＝－1时，，

即，

解得：，

综上所述，a的取值范围为：或．