Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝CD，点E在AB上，∠B＝2∠AED，CF⊥ED，若CF＝，BE+BC＝，则EC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，延长DE，CB交于点H，过点A作AN⊥DN，通过证明△CDF∽△HDC，可得，由勾股定理可求DF＝2，CD＝，由“AAS”可证△ADN≌△CDF，可得CF＝AN＝，DF＝DN＝2，证明△AEN∽△DHC，由相似三角形的性质可求EN的长，由勾股定理可求解．

解：如图，延长DE，CB交于点H，过点A作AN⊥DN，

∵∠ABC＝2∠AED，∠ABC＝∠H+∠BEH＝∠H+∠AED，

∴∠H＝∠BEH，

∴BE＝BH，

∴CH＝BH+BC＝BE+BC＝，

∵∠CDF＝∠CDH，∠ACB＝∠CFD＝90°，

∴△CDF∽△HDC，

∴ ，

设DF＝，CD＝，

∵CD2＝DF2+CF2，

∴a＝，

∴DF＝2，CD＝，

∵AD＝CD，∠ADN＝∠CDF，∠N＝∠CFD，

∴△ADN≌△CDF（AAS），

∴CF＝AN＝，DF＝DN＝2，

∵∠N＝∠ACB，∠AEN＝∠H，

∴△AEN∽△DHC，

∴，

∴，

∴EN＝5，

∴EF＝1，

∴EC＝，

故答案为：．