Question

1．点O是等边三角形ABC内一点，OE⊥AB于E，OD⊥CB于D，OF⊥AC于F．求证：BD+CF+AE是定值．

Answer 1

分析 通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论是否正确．

解答 证明：设等边△ABC的边长为a，如图，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BD²+OD²=OB²=BE²+OE²①，
CF²+OF²=OC²=CD²+OD²②，
AE²+OE²=AO²=AF²+OF²③，
①+②+③得：BD²+CF²+AE²=BE²+CD²+AF²，
∴BD²+CF²+AE²=（a-AE）²+（a-BD）²+（a-CF）²=a²-2AE•a+AE²+a²-2BD•a+BD²+a²-2CF•a+CF²
整理得：2a（AE+BD+CF）=3a²
∴BD+CF+AE=$\frac{3}{2}$a．
∴BD+CF+AE是定值．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．