Question

【题目】已知函数y=mx2+（2m+1）x+2（m为实数）．
（1）请探究该函数图象与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）在图中给出的平面直角坐标系中分别画出m=﹣1和m=1的函数图象，并根据图象直接写出它们的交点坐标；
（3）探究：对任意实数m，函数的图象是否一定过（2）中的点，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=0时，y=x+2，此直线与x轴交于（﹣2，0）；

当m≠0时，△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0，

∴此抛物线在m= 时，与x轴只有一个公共点；在m≠ 时，与x轴有2个交点

（2）解：当m=﹣1时，抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2，

当m=1时，抛物线解析式为y=x2+3x+2，

函数图象如下：

由函数图象知，两抛物线的交点为（﹣2，0）和（0，2）

（3）解：对任意实数m，函数的图象一定过（﹣2，0）和（0，2），理由如下：

在函数y=mx2+（2m+1）x+2中，

无论m为何值，当x=0时，y的值均为2，即横过点（0，2），

∵y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），

∴当x=﹣2时，y的值均为0，即函数图象横过（﹣2，0），

故无论m为何值，函数的图象（﹣2，0）和（0，2）两点

【解析】（1）分m=0和m≠0两种情况讨论；（2）m=﹣1时y=﹣x2﹣x+2、m=1时y=x2+3x+2，画出函数图象，根据函数图象得出交点；（3）在y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1）中，可知无论m为何值，x=0时y=2、x=﹣2时y=0，即可得．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．