Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过O（0，0），A（-1，5），B（4，0）三点，请在该抛物线对称轴上作一点P，使得AP+OP的值最小，并求出最小值．（请用尺规作图完成，不写作法，但保留作图痕迹）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次函数的性质

专题：

分析：根据抛物线的对称性可知对称轴为线段OB的垂直平分线，连接AB与对称轴的交点即为所求的点P，过点A作AQ⊥x轴于Q，求出AQ、BQ，然后利用勾股定理列式求出AB，即为AP+OP的最小值．

解答：解：由题意得，抛物线的对称轴为线段OB的垂直平分线，
如图，连接AB与对称轴相交于点P，点P即为所求，
过点A作AQ⊥x轴于Q，
∵A（-1，5），B（4，0），
∴OQ=1，AQ=5，BQ=1+4=5，
在Rt△ABQ中，AB=

AQ2+BQ2

=

52+52

=5

2

，
因此，AP+OP的最小值为5

2

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性以及最短路线的确定方法是解题的关键．