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【题目】如图,点D在⊙O上,过点D的切线交直径AB的延长线于点PDCAB于点C

1)求证:DB平分∠PDC

2)如果DC = 6,求BC的长.

【答案】1)证明见解析;(2.

【解析】

1)连结OD,如图,利用切线性质得∠ODB+PDB=90°,由CDOB得∠CDB+DBC=90°,加上∠ODB=OBD,于是得到∠CDB=PDB,即DB平分∠PDC

2)作BEPD,如图,根据角平分线的性质定理得到BC=BE,在RtPDC中,利用三角函数的定义计算PC=8,则利用勾股定理可计算出PD=10,设BC=x,则BE=xPB=8-x,通过证明RtPBERtPDC,利用相似比得到x6=8-x):10,然后根据比例性质求出x即可.

1)证明:如图,连接OD

DP是⊙O的切线,

ODDP

DCOB

OD=OB

DB平分∠PDC

2)如图,过点BBEDP于点E

BCDC

BC=BE

DC=6

DP=10PC=8

CB = xBE = xBP = 8 – x

PEB∽△PCD

∴x=3,

的长为3.

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