Question

【题目】两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x=cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）15
（2）

解：①当0≤x＜6时，如图2所示．

，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG= x，BG= x，重叠部分的面积为y= DGBG= × x× x= x2

②当6≤x＜12时，如图3所示．

，

BD=x，DG= x，BG= x，BE=x﹣6，EH= （x﹣6）．

重叠部分的面积为y=S△BDG﹣S△BEH= DGBG﹣ BEEH，

即y= × x× x﹣ （x﹣6） （x﹣6）

化简，得y=﹣ x2+2 x﹣6 ；

③当12＜x≤15时，如图4所示．

，

AC=6，BC=6 ，BD=x，BE=（x﹣6），EG= （x﹣6），重叠部分的面积为y=S△ABC﹣S△BEG= ACBC﹣ BEEG，

即y= ×6×6 ﹣ （x﹣6） （x﹣6），

化简，得y=18 ﹣ （x2﹣12x+36）=﹣ x2+2 x+12 ；

综上所述：y=

（3）

解：如图5所示作NG⊥DE于G点．

，

点M在NG上时MN最短，

NG是△DEF的中位线，

NG= EF= ．

MB= CB=3 ，∠B=30°，

MG= MB= ，

MN最小=3 ﹣ =

【解析】解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．
，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得
BC= =6 ．
在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．
四边形CGEH是形，
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，
所以答案是：15；