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【题目】已知△OAB在直角坐标系中的位置如图,点A在第一象限,点B在x轴正半轴上,OA=OB=6,∠AOB=30°.

(1)求点A、B的坐标;
(2)开口向上的抛物线经过原点O和点B,设其顶点为E,当△OBE为等腰直角三角形时,求抛物线的解析式;
(3)设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点,已知MN=2 ,P(m,2)(m>0),求m的值.

【答案】
(1)

解:如图1

作 AC⊥OB于C点,

由OB=OA=6,得B点坐标为(6,0),

由OB=OA=6,∠AOB=30°,得

AC= OA=3,OC=OAcos∠AOC= OA=3

∴A点坐标为(3 ,3);


(2)

解:如图2

由其顶点为E,当△OBE为等腰直角三角形,得

OC=BC=CE= OB=3,

即E点坐标为(3,﹣3).

设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2﹣3,将B点坐标代入,解得

a=

抛物线的解析式为y= (x﹣3)2﹣3

化简得y= x2﹣2x;


(3)

解:如图3

PN=2,CN= ,PC=1,

∠CNP=∠AOB=30°,

NP∥OB,

NE=2,得ON=4,

由勾股定理,得

OE= =2 ,即N(2 ,2).

N向右平移2个单位得P(2 +2,2),

N向左平移2个单位,得P(2 ﹣2,2),

m的值为2 +2或2 ﹣2.


【解析】(1)根据30°的角所对的直角边是斜边的一半,可得AC的长,再根据锐角三角函数,可得OC,根据点的坐标,可得答案;(2)根据等腰直角三角形,可得E点坐标,再根据待定系数法,可得答案;(3)根据30°的角所对的直角边是斜边的一半,可得∠CNP=30°,再根据勾股定理OE的长,根据点的坐标,可得N点坐标,根据点的左右平移,可得P点坐标.

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