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如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,E在AD上,AE=2,点F为AD上任意一点,点F与点A、点B不重合,过F作EC的平行线交BC于G.设BF=x,四边形EFGC的面积为y.
(1)写出y与x的函数解析式;
(2)x取何值时,EG⊥BC?
考点:等腰梯形的性质
专题:
分析:(1)作AM∥EC∥FG,AN⊥BC于N,根据平行线分线段成比例定理求得BG=2x,根据勾股定理求得AN,设三角形BFG中BG边的高为h,则△AEF中AE上的高为4-h,根据AD∥BC得出
x
5-x
=
h
4-h
,解得h=
4
5
x,4-h=
16
5
x,最后根据EFGC的面积=S梯形-S△AEF-S△GBF-S△DEC即可求出表达式.
(2)根据要使EG⊥BC,则BG=5,即可求得.
解答:解:(1)作AM∥EC∥FG,AN⊥BC于N,
∴BN=
1
2
(BC-AD)=3,
∴AN=
AB2-BN2
=4,
设三角形BFG中BG边的高为h,则△AEF中AE上的高为4-h,
x
5-x
=
h
4-h
,解得h=
4
5
x,4-h=
16
5
x,
∵AD∥BC,
∴四边形AECM是平行四边形,
∴CM=AE=2,
∴BM=10,
∵FG∥AM,
BF
AB
=
BG
BM
,即
x
5
=
BG
10

∴BG=2x,
∵y=S梯形-S△AEF-S△GBF-S△DEC=
1
2
(AD+BC)•AN-
1
2
AE(4-h)-
1
2
BG•h-
1
2
ED•AN=
1
2
(6+12)×4-
1
2
×2×
16
5
x-
1
2
×2x×
4
5
x-
1
2
×4×4=-
4
5
x2-
16
5
x+28
∵y与x的函数关系式为y=-
4
5
x2-
16
5
x+28.
(2)要使EG⊥BC,则BG=5,
∴2x=5,
∴x=
5
2

∴当x为
5
2
时,EG⊥BC.
点评:本题考查了梯形的性质,平行线分线段成比例定理,用间接的方法求出四边形EFGH的面积是解题的关键.
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