Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q先以2cm/s的速度沿A→O的路线向点O运动，然后再以2cm/s的速度沿O→D的路线向点D运动，当P、Q到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

（1）在点P在AB上运动时，判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；

（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．

①直接写出当△PQM是直角三角形时t的取值范围；

②是否存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PQ⊥AC，理由见解析；（2）①0＜t＜5或t＝7.5；②存在，t＝2或

【解析】

（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．

（2）①分两种情形分别求解即可．

②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．

（1）由题意AP＝4t，AQ＝2t．

则＝＝，

又∵AO＝10，AB＝20，

∴＝＝．

∴＝，

又∵∠CAB＝30°，

∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP＝∠AOB＝90°，即PQ⊥AC．

（2）①由（1）可知，当0＜t＜5时，如图1中，∠PQM＝90°，△PQM是直角三角形，

当5＜t＜10时，如图2中，当BP＝PC时，∠PMQ＝90°，此时t＝7.5，

综上所述，当0＜t＜5或t＝7.5时，△PQM是直角三角形

②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．

设l交AC于H．

如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°．

∴MH＝2NH．得20﹣4t﹣t＝2×，解得t＝2．

如图3，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则PM∥CD，

∴∠BPM＝∠BCD＝60°，∠BMP＝∠BDC＝60°，

∵∠PBM＝60°，

∴△PBM是等边三角形，

∵PB＝BM，

∴4t﹣20＝ [20﹣2×2（t﹣5）]，

解得t＝．

故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．